AI Summary文章是一道函数方程题：已知 f(x+f(y))=f(f(x))+y 且 f(1)=2024，求 f(2024)，解法通过代入特值得 4047。
AI Summary
文章是一道函数方程题：已知 f(x+f(y))=f(f(x))+y 且 f(1)=2024，求 f(2024)，解法通过代入特值得 4047。
给定一个 ℝ→ℝ\R\rarr\R 的函数 f(x)f(x)，∀x,y∈ℝ,f(x+f(y))=f(f(x))+y\forall x,y\in\R, f(x+f(y))=f(f(x))+y，且 f(1)=2024f(1)=2024，求 f(2024)f(2024)
代入 x=0x=0 得到：
注意到 f(2024)=f(f(1))f(2024)=f(f(1)) ，故 f(2024)=f(f(0))+1f(2024)=f(f(0))+1 。于是考虑求出 f(f(0))f(f(0)) 。
考虑将 y=1y=1 代入 f(x+f(y))=f(f(x))+yf(x+f(y))=f(f(x))+y，得到：
因为我们只知道 f(1)=2024f(1)=2024，故我们考虑代入 x=−2023x=-2023 。得到：
所以我们将 y=−2023y=-2023 代入 f(f(y))=f(f(0))+yf(f(y))=f(f(0))+y ，得到：
所以得到：
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